18 Aug 2019 - 07:09--=[Computer]=----=[Computer]=----=[Musica]=----=[Musica]=----=[Geometra]=----=[Geometra]=----=[Download]=----=[Download]=----=[Link]=----=[Link]=----=[Articoli]=----=[Articoli]=--
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Rappresentazione dell'informazione negli elaboratori

Oggi gli elaboratori, i computer riempiono tutta l'attività umana e quindi è necessario che trattino le informazioni (numeri, testi, immagini, suoni), che le rappresentino al loro interno e che poi li riescano a manipolare in modo corretto. Cerchiamo di capire come tutta questa informazione, possa essere rappresentata dentro ad un calcolatore. Innanzitutto bisogna tener conto che l'elaboratore è in grado soltanto di manipolare dei simboli elementari che noi codifichiamo normalmente in 0 ed 1.
Le informazioni, vengono rappresentate dal calcolatore mediante degli stati, dei segnali elettrici. In particolare possiamo dire che dentro un elaboratore esistono 2 stati, associati a 2 livelli di tensione, il livello di tensione 0V e il livello di tensione 5V. Questi due stati possono essere rappresentati con dei simboli binari, che convenzionalmente noi indichiamo con 1 e 0, quindi possiamo rappresentare l'informazione a partire soltanto da un alfabeto limitato che è costituito da questi soli ed unici simboli: 0 e 1.
Incominciamo a vedere come all'interno di un elaboratore può essere codificato un testo scritto e memorizzato all'interno della memoria dell'elaboratore.
Dobbiamo capire come i caratteri possono essere rappresentati da codifiche di zeri e uni. Allora il nostro problema e quello di rappresentare N simboli, nel nostro caso i caratteri costituiscono un testo con un certo numero di bit.
Per rappresentare N simboli mutuamente esclusivi con n bit dobbiamo fare in modo che le rappresentazioni, o meglio le combinazioni possibili dei bit siano in numero, maggiori o uguali del numero dei singoli mutuamente esclusivi, in particolare questa affermazione si traduce nella formula:

Formula

2n sono tutte le possibili combinazioni di n bit, allora questo 2n deve essere maggiore o uguale del numero N di simboli che vogliamo rappresentare. Dalla formula scritta, facendo il logaritmo di entrambi i membri, possiamo giungere a ricavare il valore di n:

Formula

Dove N = numero di simboli che vogliamo rappresentare attraverso n bit.
Visto che n deve essere un intero, visto che non possiamo suddividere, frazionare un bit dobbiamo fare in modo che la relazione prima scritta ci dia un numero intero di bit, per cui scriveremo che n è l'intero superiore del log 2 N:

essendo n intero

Formula Supponiamo adesso di avere N oggetti, con N = 87, e supponiamo di voler calcolare qual è il numero di bit, n, necessario per rappresentare questi N = 87 oggetti.
Deve essere:

Formula

facendo il logaritmo di entrambi i membri:

Formula

Quindi avendo 87 oggetti ed avendo 7 bit poiché 2 7 = 128, cioè partendo con 7 bit, ottenere 128 combinazioni, con 7 bit possiamo rappresentare i nostri 87 oggetti.


Sistemi di numerazione posizionale

Il concetto della rappresentazione dei numeri mediante un sistema posizionale, fu introdotto dagli arabi e permise di velocizzare tutta una serie di operazioni.
Un sistema posizionale è caratterizzato da una base o radice (r) e da un insieme di cifre: {0, ..... , r-1}, indicheremo con d i la singola cifra.

BASE Freccia r

d i Freccia  {0, 1, ..... r -1}

In un sistema di rappresentazione posizionale un generico numero N è rappresentato da una sequenza di cifre.

Formula

Ciascuna di queste cifre appartiene all'insieme proprio del sistema di numerazione.
Quando noi rappresentiamo, nel nostro sistema a base 10, ad esempio il numero 1232, per ottenere il valore vero sommiamo tra loro 2 unità, 3 decine, 2 centinaia e 1 migliaio.
Tutto questo significa che all'ultima cifra "2" associamo un peso pari a 10 0, alla penultima cifra "3" associamo un peso pari a 10 1, procedendo verso sinistra abbiamo che a "2" si associa un peso pari a 10 2 ed infine alla cifra "1" si associa un peso pari a 10 3. Da questa semplice considerazione possiamo ricavare quella che è una regola generale dei sistemi di rappresentazione posizionali.
Vengono chiamati posizionali perché ad ogni cifra è associato un ben preciso peso che dipende dalla posizione della cifra all'interno del numero. Da tutta questa descrizione possiamo dedurre alcune regole generali.

In un sistema posizionale:

  • Viene assegnato un numero intero non negativo N;

  • Viene rappresentato come una sequenza di n simboli (cifre) d i ;
    N = d n d n-1 ............ d 2 d 1 d 0

  • Il valore vero risulta
    d n-1 r + d n-2 r + .... + d 1 r + d 0 r

    essendo r la BASE del sistema di numerazione

    Formula

    Formula




Il sistema binario

Il sistema binario ha:

Formula

la base è 2 e le cifre a disposizione sono due. Quello che dobbiamo saper fare è di rappresentare i numeri, che normalmente utilizziamo, in sistema binario, capire come la macchina li rappresenta e come la macchina esegue le elaborazioni.


Conversione da rappresentazione in base 2 in base 10

Nel trasformare un numero binario in decimale la regola è quella di esprimere il numero dato esplicitando i pesi di ciascuna cifra, moltiplicando ciascun peso per la cifra corrispondente ed effettuando poi la somma dei prodotti. Si ottiene alla fine il numero in base 10.

Esempio:

1010(2)

Vogliamo vedere quanto vale questo numero in base 10.

Formula

in conclusione abbiamo quindi 1010(2) = 10(10)


Conversione da rappresentazione in base 10 in base 2

Nel trasformare un numero binario in decimale la regola è quella di utilizzare un metodo chiamato algoritmo per divisioni, è un algoritmo di conversione che permette di passare da una rappresentazione di base 10 ad una rappresentazione ad una base qualunque. Noi tratteremo la conversione a base 2.
Prima di procedere e bene ricordare che il valore di un numero è ottenibile mediante questa espressione:

N (10) = d n -1 r + d n-2 r + .... + d1 r + d0 r

Da questa espressione vediamo di raccogliere a fattor comune r:

N (10) = r (d n-1 r + d n-2 r + .... + d1) + d0

Esprimendo questa relazione con una forma più concisa indicando con un unico simbolo tutta la quantità racchiusa tra parentesi tonde:

Formula

Dove N è il dividendo r il divisore Q il resto e d il quoziente.
d0 risulta dunque il resto di N(10) / r. Allora la cifra meno significativa della rappresentazione del numero nella base di arrivo, nel nostro caso la base 2, è ottenibile facendo la divisione tra il numero dato in base 10 e la nuova base e ricavandone il resto. Così facendo si ottiene la prima cifra, la cifra meno significativa del numero espresso della nuova base.
E così via, si tratta quindi di procedere con delle divisioni successive e di ricavare il resto, il quale rappresenta la cifra nella base di arrivo.
Rappresentiamo le cose appena spiegate con un semplice esempio:

Formula

Dobbiamo prendere il numero dato, 25, e dividerlo per la base, 2 nel nostro caso, ricavare il quoziente che ci servirà per il passo successivo e trovare il resto che costituisce la prima cifra da destra, cioè quella meno significativa della rappresentazione del numero dato della base considerata, 2 nel caso in esame.


Formula

Da questo punto in avanti gli zeri che vengono anteposti alla cifra più significativa, non vengono scritti.
In conclusione abbiamo:

25(10) = 11001(2)

Possiamo facilmente verificare se il risultato ottenuto è corretto:
N(10) = 1 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20  =
= 1 * 16 + 1 * 8 + 0 + 0 + 1 =
= 16 + 8 + 1 =
= 25

Andiamo ad analizzare le operazioni aritmetiche con i numeri binari. Essendo il sistema binario un sistema posizionale ed essendo il sistema decimale che noi abitualmente usiamo un sistema posizionale le regole sono essenzialmente le stesse.
Regola di addizione tra due generici BIT Ai e Bi (Ai + Bi)


Addizione

 Ai    Bi    Somma   Riporto   
 0     0       0          0 
 0     1       1          0 
 1     0       1          0 
 1     1       0          1 

Abbiamo considerato tutte le possibili combinazioni che le 2 cifre binarie possono assumere. Supponiamo di sommare le due cifre secondo le regole di tutti i sistemi posizionali. Ricordiamo che sommando 2 cifre in un sistema posizionale ne può derivare un'entità che è rappresentabile su più di una cifra e quindi vi è il cosiddetto riporto. La tabellina ricostruita ci permette di fare l'addizine tra due qualsiasi numeri in rappresentazione binaria.

Formula

Possiamo verificare se i conti effettuati in binario corrispondono in decimale. Per far questo dobbiamo tradurre i numeri espressi in base 2 nei corrispondenti in base 10 e vedere se il risultato ottenuto coincide con la sequenza di zeri e di uni ottenuta applicando le regole dell'addizione binaria.

Formula

Con criteri del tutto simili è possibile dedurre le regole per le altre operazioni.


Sottrazione

Formula

Moltiplicazione

Formula

Divisione

Formula

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